Grande amico di Pareto, professore liceale di Filosofia e Pedagogia, insegnò dapprima a Trani e Cagliari e quindi a Firenze, dove negli ultimi anni della sua vita tenne anche la cattedra di Pedagogia presso l'Istituto Superiore di Magistero.
Della sua poliedrica attività intellettuale e di animatore culturale, spesso pervasa da valori umanitari e volta a opere di utilità sociale, si ricordano in particolare l'adesione alla Società Dante Alighieri (nell'ambito della quale fu presidente di sezione, consigliere nazionale e promotore della lettura di Dante al popolo), la collaborazione alla stesura del vocabolario della Crusca, la fondazione e la direzione della Pro Cultura di Firenze, la creazione di iniziative a favore dell'educazione popolare (tra cui le Università popolari), la partecipazione all'Accademia Toscana di Scienze e Lettere "La Colombaria".
La sua opera principale come storico della pedagogia è La vita e i tempi di Enrico Mayer (1898), ampia e articolata storia dell'educazione popolare e dell'insegnamento in Italia nel XIX secolo; altri suoi lavori di rilievo sono: La vita, i tempi e l'opera educativa di Raffaele Lambruschini - La moderna pedagogia toscana (1878), Frammenti educativi di Catone e di Varrone (1878), L'odierno realismo nella poesia (1879), I congressi degli scienziati e i congressi pedagogici (1880), Scritti filologici di G. Leopardi sopra M. Carnelio Frontone (1881), Frammenti pedagogici (1882), Giovanni Ruffini (1882), Marco Cornelio Frontone e l'educazione di M. Aurelio Antonino (1883), II processo politico di Enrico Mayer a Roma nel 1840 (1887), Tre grandi educatori nella loro intima corrispondenza: le pére Girard, F.M. Naville, R. Lambruschini (1923) e il Carteggio inedito del Lambruschini con il Tommaseo (1924).
Linaker conobbe Pareto attorno alla fine degli anni '70 dell'Ottocento, all'epoca in cui entrambi frequentavano il salotto fiorentino di Emilia Peruzzi. L'intima e duratura amicizia che ne seguì è testimoniata dalla ricca corrispondenza, il più lungo carteggio paretiano in termini cronologici (1885-1923), conservata presso la Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze e pubblicata nel 1972 a cura di Marcello Luchetti per le Edizioni di Storia e Letteratura. Nel suo testamento Pareto legò la somma di 4.000 franchi svizzeri all' "amico professore" Arturo Linaker (cfr. la lettera al notaio Arthur Sautter, 1 dic 1921, in V. Pareto, OC, t. 31, 2001, p. 383). È indirizzata al Linaker l'ultima lettera conosciuta di Vilfredo Pareto, datata 13 agosto 1923 (cfr. Idem, 1973, poi OC, t. 19, 1975, p. 1154-1155).